과외 학부모가 계약서 작성을 거부합니다

최근에 과외를 시작한 대학생입니다. 과외 내용, 일정 변경 관련 규정 등을 포함한 계약서를 써서 학부모에게 전달했는데 학부모가 계약서에 서명하라는 요청을 계속 무시하고 있습니다. 

과외비는 선불로 입금받았습니다 (이것도 미루다가 데드라인 잡고 재촉하니까 줬어요) 계약서를 작성하라는 요청만 유독 계속 무시하는 이유를 모르겠네요. 과외를 성사시키는 과정에서 학부모가 반복적으로 무리한 요구를 했던 전력이 있어서 계약서 없이는 과외를 계속할 생각이 없습니다.

선불로 받은 과외비는 환불해주겠다고 하고 그만둬야 할까요?