고용보험 기록, 퇴사 관련 질문드려요!

안녕하세요. 모 공기업(공공기관) 인턴을 10월 2일부터 근무하였는데, 10월 4일에 퇴사하려고 합니다. 
(10월 2일에 근로계약서도 작성하였습니다. 계약서 상에는 공휴일 이지만, 10월 1일부터 근무 시작일 )

1. 혹시 이런 경우에 제가 간곡하게 요청드리면, 고용보험에 등록(기록)안 남게 하는 것이 가능할까요? 
(개인적인 사정이 있는데, 고용보험에 등록되면 많이 곤란해서요 ㅠ)

아직까지 고용보험 취득(등록) 절차는 하지 않은 것으로 알고있는데, 10월 4일에 퇴사하더라도 나중에 취득일 상실일 등록을 할까요??

2. 혹시나 고용보험 등록을 하더라도 아주 짧은 시간 근무였으니, 상용직말고 일용직으로라도 가능할까요?

개인적인 사정으로, 가능하다면 고용보험 기록에 안 남기게 최대한 요청드리고 싶은데,
현실적으로 가능할지, 현직자 분들의 생각이 궁금합니다