퇴사 시기 관련 질문

안녕하세요.

현재 기간제 계약직으로 일하고 있는데 이직에 성공하게 되어 회사에 퇴사 의사를 밝혔습니다.

근데 이직처 첫 출근이 설연휴 끝나고 거의 바로여서 현직장에서는 약 일주일 남기고 말을 했기 때문에 안된다고 하는 상황입니다..(제가 맡은 업무는 모두 마치고 가겠다고 하였으며 휴가 또한 소진은 하지만 출근하겠다고 한 상황입니다)

저도 회사 내부 사정상 이 부분이 곤란할 것이라 생각하지만, 합격한 회사에 입사하고 싶은 마음이 크기 때문에 어떤 이유를 대어도 퇴사하고 싶은 마음이 큽니다. 

게다가 기간제계약직이기 때문에 올해 계약서를 다시 작성해야 함에도 아직 하지 않았습니다. 이 부분을 말씀드렸더니, 회사에서도 법적으로 노무사에게 물어보고 정확히 할 것이라 하였습니다..

이게 법적으로 문제 되는지.. 설 끝나고 다른 곳으로 갈 수 있을지 멘토분들의 의견 부탁드립니다.